“平面”概念教学设计

龙宇乐学数韵 2022-07-16

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作者：龙宇顺德区罗定邦中学

责编：林伟湛

审核：龙宇

一、教学内容分析：

“平面”是人教版必修二第二章第一节的第一个学习内容，整个章节学习的内容是点、直线、平面之间的位置关系。平面是一个新的概念，学生对于该概念的理解，对后续内容的学习有很大的影响。

在本节课中，需要掌握的内容有：“平面”的概念，“平面”的性质以及与平面相关的三个基本公理。需要掌握的能力是：能够使用文字语言、图形语言以及符号语言描述平面以及三个基本定理。在学习的过程中，感受概念形成的过程，掌握学习新概念的方法。

教材当中，对于“平面”概念的介绍是从桌面以及平静的水面等具体事物抽象出来的，且利用平行四边形来表示平面，无形之中给平面增加了“限制”，对后续的学习造成干扰，对于平面的概念没有明确的定义。基于此，笔者通过查阅资料，整理了历史上对于平面的定义，先呈现如下：

数学家	定义方式	对“平面”的理解
巴门尼德	直线	平面是直线在任意方向可以以任意方式组合的几何体
欧几里德	直线	平面是它上面的线一样平放着的面
海伦	直线	平面是直线与之完全相合的表面。如果一条直线经过表面上的两个点，那么这条直线的任意部位都和这个表面相合
莱布尼茨	距离	平面是到两定点距离相等的点的集合
沃尔夹岗.鲍耶	旋转	一条直线绕与其垂直的直线旋转所形成的图形
西姆森	线和两点	过平面上任意两点的直线与这个表面完全相合，这个表面就是平面
高斯	旋转	平面就是包含了过一个已知点与一条已知直线垂直的所有直线的表面
皮埃尔	线段和旋转	给出不共线的三点A,B,C，由A与BC上各点，或B与CA上各点，或C与AB上各点所连接的直线全部填满的图形，称为平面ABC
希尔伯特	原始概念	平面无大小，无厚度，可无限延展

根据上表，可以发现，教材采用了希尔伯特给出的原始概念。经过比较，笔者选择高斯对于平面的定义进行设计。

二、学情分析：

学习立体几何，学生对于平面的意象主要是生活实践、旧有知识中的物象，显性认知是直线，而隐形认知是研究几何对象的思想。

1、从概念意象上看，主要是学生无意识积累的一些关于平面的生活类、旧知类和图形类的初步认识，如：平静的水面、光滑的桌面，长方体、正方体的面等等；

2、从知识基础上看，主要是学生关于直线的知识（定义、表示、直线公理等），主要基于学生对直线“无头无尾”性质的想象与理解；

3、从研究的思路上看，研究一个几何对象，有一条“惯常线路”：显示结合生活实际，抽象出几何对象，然后下定义，用文字语言、图形语言、符号语言表示对象；接下来研究其性质，主要是构成图形的一些要素之间的关系，包括位置关系、数量关系、与其他几何对象的关系等。这条线路，学生虽已多次体验，但未加留意，也未必熟悉。

三、教学目标：

1、通过几何画板等教学软件制作平面，让学生从中抽象出平面的：平、无限延伸等特性；

2、设置相应的实验，让学生体会并总结出平面的三个基本公理；

3、能够使用文字语言、图形语言以及数学语言描述平面以及三个基本公理。

四、教学重难点：

1、理解平面的特性；2、三个基本公理。

五、教学方法：

以讲授法为主，学生讨论，参与实验为辅，借助几何画板等教学软件进行展示教学。

六、教学活动过程：

（一）创设情境激发兴趣，引入新课：

1、平面概念的形成

借助几何画板，展示高斯对于平面的定义：平面就是包含了过一个已知点与一条已知直线垂直的所有直线的表面。

（1）活动内容（问题情境）

如图1，借助几何画板，绘制一条直线，过直线上一点做直线的垂线，将直线保持与直线垂直的关系绕点旋转，直线形成的轨迹就是一个平面。

（2）学生活动

利用两支笔在空间中实现“平面”的形成过程，即拿一支笔竖直放置，在这支笔上选一个点，将另一支笔经过该点和竖直的笔保持垂直关系，旋转一周，感受运动的笔的轨迹，让同学们总结形成的轨迹“平面”的相关特点——平、无限延展性。

（3）教师活动

总结平面的特点，因为直线是无限延伸的，所以形成的平面也是无限延展的；而且直线是没有厚度，形成的平面也是没有厚度的；在运动的过程中，形成的“平面”中的线始终与直线垂直，所以平面处于同一“水平面”上。

（4）设计意图；

渗透轨迹的思想，利用一个动态的形成过程，让学生总结平面的概念以及平面的特点；根据该模型可将平面理解为直线的集合，为后续利用集合的相关符号表示平面、点以及直线提供理论基础；该模型为后续学习线面间的位置关系进行铺垫。

2、平面的表示以及点与平面的位置关系

分别用三种语言表示平面以及点与平面的位置关系。

（1）活动内容（问题情境）

①平面是无限延展的，如何表示平面图形呢？②点和平面有两类，属于或不属于，如何在图像上以及符号语言进行表示？

（2）学生活动

学生通过阅读教材总结绘制平面的基本方法，并在导学案上进行绘制，总结一般的绘制原则；根据元素与集合间的关系总结点、线、面位置关系的表示方法。

（3）教师活动

利用几何画板，展示平面的表示图形以及两个平面相交时的表示方法，通过构造虚线来增加立体感；介绍表示平面的方法：利用平行四边形的四个顶点表示，例如平面ABCD，或利用希腊字母表示，如平面等等。

利用几何画板，展示点与平面的包含关系，并在黑板上进行板书符号语言。

（4）设计意图；

让学生体会三种语言关系的转化以及表示方式，为后续的证明过程以及问题的理解进行铺垫；加深利用集合理解点、线、面的意义；

3、理解公理1

通过实验理解公理1：并熟悉公理1的三种表示方式；

（1）活动内容（问题情境）

根据上面的铺垫，平面是由直线构成的，那么如何判断直线在平面呢？

（2）学生活动

将直尺的两端平放在桌面上，观察直尺所在直线与平面的位置关系，总结出公理1。

（3）教师活动

引导学生用三种表示方式（文字、图形、符号）解释公理1，再提出思考问题：凡是能把直线放在上面的面都是平面吗？

（4）设计意图；

通过动手实验总结公理，深化对公理的认识。后面提出的思考问题，揭示一个反例——圆柱面，直线可以放在圆柱面上，却不是平面。通过反例加深学生对平面“平直性”的理解。

4、理解公理2

通过观察如下现象：三脚架可以牢固的支撑相机或测量用的平板仪，这是为什么呢？

（1）活动内容（问题情境）

根据上面的铺垫，平面是由直线构成的，那么确定一个平面至少需要几条直线呢？基于此，设计实验解释公理2.实验材料：长方形纸板，5支可以直立放置的铅笔；实验过程用铅笔支撑硬纸板，用不同的铅笔数量来支撑硬纸板，观察至少需要几支以及放置的方式可以固定硬纸板。具体流程如下：①先用一支铅笔顶住平面，硬纸板没有被固定；②用两支铅笔顶住硬纸板，硬纸板还是没有被固定；③用三支不在同一条直线上的铅笔，纸板被固定；④用四支、用五支，观察其支撑的特点。

（2）学生活动

将学生分成不同的小组，分别参与实验，总结出公理2。

（3）教师活动

引导学生用三种表示方式（文字、图形、符号）解释公理2，并据此提出三个推论：①、经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；②、经过两条相交直线，有且只有一个平面；③、经过两条平行直线，有且只有一个平面。提出思考问题：如图，用两根细绳沿桌子的四条腿的对角拉直，如果这两根细线相交，说明桌子四条腿的底端在同一个平面内，否则就不在一个平面内？请同学们感受该方法的合理性，并说出该方法的理论依据是什么？

（4）设计意图；

通过动手实验总结公理，深化对公理的认识。后面提出的思考问题，加深利用相交直线确定平面的认识，为后续判断线面垂直等性质及定理进行铺垫。

5、理解公理3

通过实验理解公理3：并熟悉公理3的三种表示方式；

（1）活动内容（问题情境）

构造实验：将三角板的一个角放置在桌面上，让同学们观察三角板所代表的平面与桌面所代表的平面有几个交点。

（2）学生活动

参与实验，总结出公理3。

（3）教师活动

引导学生用三种表示方式（文字、图形、符号）解释公理3，解释如下疑问：为什么两个平面的交点不是一个？三角板代表平面，限制了范围，引导学生将三角板的范围扩大，结合上述环节中关于平面的定义，思考该公理

（4）设计意图；

通过动手实验总结公理，深化对公理的认识。两个平面相交，其公共部分一定是一条直线，该公理是“平面”无限延展性的体现。为后续学习平面与平面间的位置关系进行铺垫。

七、教学效果评价：

通过教学实验以及几何画板等软件，利用轨迹、旋转等动态的思想理解平面。为后续的学习提供了铺垫。该教学设计可以帮助学生突破对平面“平”以及“无限”的理解。

其次，通过实验感受总结定理，是数学发现与研究的一般方法，让同学们在学习的过程中，体会数学知识发生发展的轨迹。培养学生的学习兴趣，增强学生学生的信心。通过相同的实验，我们可以总结出和数学家一样的结论。

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本文章和图片来源于《顺德数学家园》

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